Mémoires de Fin d’Etudes
Etablissement
Université d’Oran1 - Ahmed Ben Bella
Affiliation
Département de Mathématique
Auteur
BEKKAKCHA, Souad
Directeur de thèse
BOUYACOUB A. (Professeur)
Filière
Mathématiques
Diplôme
Magister
Titre
Sur l’inscription d’un polygone dans une courbe de R2 : le Cas particulier du carré inscrit dans une courbe de Jordan
Mots clés
Square peg problem; Polygone; Inscription d’un polygone dans une courbe de Jordan; Courbe de Jordan.
Résumé
Le Problème traité dans ce mémoire se rapporte à une conjecture posée en 1911 par Toeplitz et qui affirme que toute courbe continue, simple et fermée du plan contient quatre points qui forment les sommets d’un carré. Ce problème d’énoncé simple est en fait très difficile et est toujours sans réponse dans sa grande généralité. Les premiers résultats sont venus d`es 1911 et ont été l’oeuvre de Emch et de Teoplitz lui-même, indépendamment l’un de l’autre, pour des courbes convexes. Il a fallu attendre 1929 pour voir Schnirelmann proposer une solution pour des courbes simples mais de classe C3 au moins. Plus tard, au milieu des années cinquante, Guggenheimer a repris les idées de Schnirelmann et les a généralisées pour répondre à des questions semblables mais en dimensions supérieures. Au début des années soixante, Jerrard s’est penché sur le cas des courbes analytiques et a prouvé le résultat en précisant d’avantage la parité du nombre de carrées inscrits sur une telle courbe. En 2008, Pak a proposé deux preuves différentes et très instructives dans le cas ou la courbe est linéaire par morceaux. Bien d’autres résultats ont été obtenus ces dernières années dans différents cas de symétries par rapport `a un point, ou alors par rapport a un axe ou alors encore pour des courbes invariantes par rapport `a des sous groupes fini du groupe de rotations du plan. Mais tous ces résultats supposent que la courbe présente un certain degré de régularité. Le problème dans le cas ou la courbe simple n’est que continue reste un défit à relever. Le mémoire a pour objet de sélectionner les résultats les plus significatifs obtenus dans ce domaine, parfois en reprenant certaines preuves qui présentent un intérêt particulier et parfois en proposant de nouvelles preuves originales. L’essence même de notre travail est l’étude détaillée du théorème le plus puissant obtenu à ce jour dans ce domaine. Il s’agit du théorème de Stromquist, démontré en 1989 et qui stipule que :Toute courbe simple, fermée dans l’espace euclidien Rn, qui vérifie une certaine condition de régularité dite "la condition A", bien plus faible que la classe C1, mais malheureusement encore beaucoup plus restrictive que la simple continuité, admet quatre points inscrits qui forment un quadrilatère dont les cotés sont égaux et les diagonales égales. Dans le cas d’une courbe plane, il s’agit certainement d’un carré. Stromquist va beaucoup plus loin et propose, dans le cas du plan une condition de "monotonie locale" encore plus proche de la continuité et ou le résultat positif est encore confirmé.
Date de soutenance
2011
Cote
TH3460
Pagination
63F.
Format
30 cm
Notes
RESUME.BIBLIOG.INDEX
Statut
Soutenue